Расчёт скоростной заморозки Берёзовского мамонта

Постановка задачи.

Из приведенного выше обсуждения становится очевидным то, что мы сталкиваемся с ситуацией, наиболее чуждой единообразной геологии. Содержимое желудка указывает на смерть мамонта в середине лета, и в то же время степень сохранности останков требует снижения температуры желудка минимум до 30 градусов по Фаренгейту, — после смерти должна быть быстро остановлена активность пищеварительных соков.
Формулируем задачу: какова степень понижения температуры наружного воздуха, достаточная для снижения температуры желудка мамонта до +40°F (+4°С) за десять часов?

Теплофизические свойства мяса мамонта.

В консультации с доктором Роджером Симпсоном с кафедры гражданского строительства и машиностроения Южного Методистского университета были построены две термодинамические модели мамонта.
Чтобы создать физическую модель, на основе которой можно было бы ответить на  поставленный вопрос, необходимо сделать определенные предположения относительно теплофизических свойств мамонта. Поскольку конкретную информацию получить невозможно, можно предположить, что эти термодинамические свойства были аналогичны свойствам современных слонов и что термические свойства мяса не сильно отличаются от свойств говядины, которые довольно хорошо известны.

Для приведенных ниже расчетов сначала необходимо определить четыре характеристики:
(1) — теплопроводность говядины,
(2) — удельную теплоемкость мяса,
(3) — плотность мамонта и
(4) — теплообмен поверхности мамонта.

(1) Теплопроводность говядины. Эта величина, k, является мерой скорости передачи тепла через единицу толщины на единицу площади при единичной разнице температур. В Британской инженерной системе, которая используется здесь, размерными единицами являются BTU/(h⋅ft⋅°F). Это свойство мяса будет меняться в зависимости от температуры животного. Для диапазона температур от 100°F (38°С) до 32°F (0°С) будет предполагаться значение 0,257 BTU/h⋅ft⋅°F (= 0,4 Вт/м⋅°К).

(2) Удельная теплоемкость говядины. Эта величина, С, является мерой количества тепла, необходимого для повышения температуры единицы массы вещества на один градус по Фаренгейту. Единицы измерения = BTU на фунт на градус F (BTU/lb°F).
1 BTU/lb⋅°F = 4,18 КДж/кг·°С
Как и теплопроводность, удельная теплоемкость изменяется в зависимости от температуры. В диапазоне температур от 100°F до 32 °F (38°С — 0°С) используется значение C=0,84 BTU/lb⋅°F = 3.52 КДж/кг.

(3) Плотность говядины. Предполагается, что плотность мамонта, то есть средняя плотность, примерно такая же, как у современного человека или коровы. Было подсчитано, что средняя плотность коровы составляет 66,14 фунтов/куб.фут (= 1061 кг/м3).

(4) Теплообмен поверхности мамонта (film conductance of the mammoth). Эта величина, h, представляет собой коэффициент теплообмена между поверхностью и средой. Это мера энергии, рассеиваемой с единицы площади поверхности за единицу времени для единичной разницы температур между рассматриваемой поверхностью и окружающей средой. Единицы измерения — BTU в час на квадратный фут на °F (BTU/h⋅ft²⋅°F). В случае принудительной конвекционной теплопередачи, создаваемой холодным ветром, этот коэффициент зависит от геометрии замораживаемого образца и других факторов, включая кинематическую вязкость и скорость ветра. Для целей моделирования мамонт сначала будет аппроксимирован цилиндром.

Формула для теплообмена при обтекании цилиндра тогда равна h = (C)(Re)^m(k/d), где C = 0,024 и m = 0,8 (константы для цилиндра).

Диаметр, d, мамонта будет принят равным 5 футам. Это значение было предложено инженерам Birds Eye куратором Американского музея естественной истории.
Теплопроводность воздуха, к, составляет 0,015 BTU/h⋅ft⋅°F (при 0°C).

Уравнение для числа Рейнольдса, Re, задается формулой Re=(скорость ветра)(диаметр)/ (кинематическая вязкость).
Кинематическая вязкость — это отношение динамической вязкости (1,11 × 10,5 lb/ft-sec для воздуха при 0°C) к плотности (0,086 lb/ft³ для воздуха при 0°C) или 1,25 × 10^-4 lb^2/sec.
Если бы холодный ветер, который одолел мамонтов, двигался по тундре со скоростью 100 миль в час (45 м/сек.), число Рейнольдса тогда составило бы 5,68 х 10^6 . Это дает значение h = 18,24 BTU/hr⋅ft²°F

В 1961 году Birds Eye, имевшую опыт работы с замороженным мясом, попросили проверить достоверность статьи о мамонтах, которая должна была быть опубликована в Reader’s Digest. Инженер Birds Eye Айвор Морган, который проводил расчеты, в своём предположении определил скорость ветра в 40 миль в час, температуру как -50 °F и значение h = 10,5 BTU/hr⋅ft²⋅°F. В приведенных ниже расчетах будет принято значение 18,24.

Используя эти приблизительные допущения, можно с достаточной уверенностью определить значение внешней температуры, необходимое для обретения Березовским мамонтом степени сохранности, в которой он был найден. Для физической модели мамонта будут использоваться две разные геометрии: бесконечный цилиндр и эквивалентная сфера.

Модель заморозки мамонта №1. Бесконечный цилиндр

Инженеры Birds Eye смоделировали мамонта в виде бесконечного цилиндра. Луйков представил графические решения для задачи о скорости охлаждения бесконечного цилиндра, которые делают чрезвычайно сложные вычисления относительно простыми.

На рисунке показано θ = (T — Ta)/(Ti — Ta) как функция числа Фурье. T — температура определенной точки в цилиндре, в данном случае 40°F. на шесть дюймов вглубь мамонта. Предполагается, что если температура на глубине шести дюймов в теле мамонта была доведена до 40°F, то пищеварительный процесс будет замедлен достаточно для того, чтобы мамонт мог замерзнуть окончательно в течение следующих нескольких недель без значительного повреждения содержимого желудка. Излишне говорить, что это предположение имеет хороший запас по расчёту. Желудок начинается примерно на шести дюймах вглубь тела мамонта.

Ta — температура окружающего воздуха; значение -50°F (более умеренное значение, соответствующее сегодняшним наблюдениям) и будут использоваться значения от — 100 до — 250 (радикальные значения, выходящие за рамки современного опыта).
Ti — это начальная температура мамонта. Можно предположить, что мамонта внезапно охватил сильный холод, так что им была прекращена всякая деятельность (включая жевание), и он стал медленно замерзать. Смерть у млекопитающего наступает при температуре 74°F.
Таким образом, при -50°F (-45°C), (1 — θ) = 0,274; при -175°F (-115°C), (1 — θ) = 0,137; и при -200°F (-128°C), (1 — θ) = 0,124.



Отношение r/R — это отношение расстояния, на котором точка r» находится от центра мамонта, к радиусу мамонта. В нашей задаче значение для r предполагается равным = (30″- 6″) = 24″. Таким образом, r/R = 24/30=0,8.

Безразмерное число Фурье задается формулой Fo = at/R², где a = k/(den)(c). Из приведенного выше обсуждения теплофизических свойств мяса мамонта следует, что значение k ~ 0,257 BTU/hr*ft²°F, плотность (den)~ 66,14 lb/ft³ и c = 0,84 дают a = 0,00462 ft²/hr

В приведенном выше примере t = время в часах, а R = радиус мамонта в футах — 2,5.

На рисунке можно увидеть, что при Ta = 50°F число Фурье равно 0,274, а t = 19,6 часов. Если Ta = — 175 °F., то число Фурье равно 0,137, а t ~ 10,8 часов. Из-за того, что температура наружных дюймов мамонта в первые минуты опустится намного ниже точки замерзания, скорость отвода тепла будет несколько выше, чем учитывают приведенные выше расчеты. Это связано с тем, что теплопроводность поверхности увеличится в три раза при внезапном замерзании внешней оболочки, в то время как удельная теплоемкость снизится почти на 30%. Таким образом, можно с уверенностью заключить, что если наружная температура внезапно упадет до — 175 ° по Фаренгейту, то температура на глубине шести дюймов в мамонте снизится до 40° по Фаренгейту в течение 10 часов.

Исходя из вышеуказанных параметров, время, необходимое для доведения шестидюймовой точки в цилиндре до температуры в 40°F отображается в таблице 2 («графическое решение»). Если бы температура была аналогична наблюдаемой сегодня, т.е. -50° по Фаренгейту (-45°C), у пищеварительного процесса было бы почти 19 часов, чтобы растворить содержимое желудка, вследствие чего не осталось бы ничего достаточно хорошо сохранившегося, чтобы отличить вид. Расчет указывает на то, что мамонт, должно быть, был внезапно поражен температурой, приближающейся к -175 °F.

Модель заморозки мамонта №2. Эквивалентная сфера.

Чтобы подтвердить приведенное выше уравнение, запрос был направлен в корпорацию замороженных продуктов Birds Eye в Нью-Йорке. В научно-популярной статье сообщалось, что: «Эксперты по замороженным продуктам Birds Eye, изучая ткани мамонта, пришли к выводу, что они были «брошены в холодильник” внезапно, при температуре ниже -150 °F«.

Автор связался с инженером Birds Eye Айвором Морганом, который проводил расчеты по мамонту в феврале 1960 года. По-видимому, «Ридерз Дайджест» попросил Birds Eye проверить достоверность статьи о глубоком катастрофическом замораживании мамонтов, которую они предлагали опубликовать в 1960 году. Выяснилось, что «ткани мамонта» не исследовались, как об этом ошибочно сообщалось.

Однако мистер Морган снабдил автора компьютерной программой, которую он разработал для Birds Eye, для определения скорости замерзания в сферах разного диаметра. Эта программа была довольно строгой и учитывала точное изменение удельной теплоемкости и теплопроводности в зависимости от температуры, а также учитывала эффекты поглощения и извлечения теплоты при плавлении и замораживании. С целью адаптации программы конкретно с вопросом о замораживании мамонта, были проведены консультации с программистом Бертом Доллахайтом, который работает в армии США в Вашингтоне, округ Колумбия.

В программе мамонт был представлен десятью концентрическими сферами. Это приближенное решение уравнения теплопроводности Фурье для малых приращений времени и малых конечных приращений сферического радиуса. Тепловой поток в каждую из десяти концентрированных сфер, меньшее значение потока наружу, равен остаточному теплу, которое проявляется как изменение состояния и температуры. Программа имеет возможность вычислять среднюю температуру мамонта в любой момент времени в зависимости от температуры наружного воздуха.

Средняя температура даст точное представление о температуре содержимого желудка мамонта в любой момент времени.

Эквивалентный объем сферы был определён, исходя из размеров тела мамонта. Основываясь на предложении, сделанном Birds Eye, куратором Американского музея естественной истории радиус мамонта был установлен в 2,5 фута. Длина основного корпуса оценивалась примерно в восемь футов. Таким образом, туловище мамонта смоделировано в виде цилиндра длиной восемь футов и диаметром пять футов. Объем такого цилиндра составляет 271 296 кубических дюймов, а радиус сферы того же объема равен 40 дюймам. Таким образом, в программе сфера радиусом 40 дюймов эквивалентна туше мамонта.

Теплообмен поверхности мамонта принят таким же, как и у цилиндра, 18,24BTU/hr*ft²*°F, а плотность составляет 66,14 lb/ft³ (фунт/куб.фут). Программа выдает данные на время, необходимое для доведения средней температуры мамонта до 40°F (+4°С) в зависимости от температуры окружающей среды.

Из таблицы видно, что программа Birds Eye и графическое решение Luikov для цилиндра демонстрируют общее согласие при несколько разных предположениях о геометрии. Для снижения температуры содержимого желудка до требуемых 40°F необходимы температуры значительно ниже -150°F в пределах 10-часового лимита, установленного ботаниками и физиологами желудочно-кишечного тракта.

Интересно отметить, что эта температура (—150°F) была такой же, как и та, которую назвал Иван Сан-Дерсон, ссылаясь на отчет, указывающий на целостность клеток, — на то, что они не разрушились. Сандерсон утверждал, что эксперты по замороженным продуктам пришли к выводу, что исследуемый мамонт был заморожен при температуре ниже -150°F. Таким образом, одна и та же цифра была определена с помощью двух совершенно разных методов!

Сказать, что 10 часов — это предел, а 40°F — требуемая температура, было бы, вероятно, консервативной оценкой. Скорее всего, температуру нужно было довести до 35°F (1,66°С) в течение шести или семи часов.

Более того, если березовский мамонт был убит мгновенно, как можно предполагать, то Ti = 100°F (37,7°С), а температура воздуха ниже -200°F (-128°С). Значение Ti = 74°F предполагает, что животное замерзало постепенно до своей смерти.
В компьютерном анализе решение, по которому средняя температура близко приближается к температуре точки в 7,27 дюйма от поверхности тела мамонта, объясняется тем, что около 42,6% объема мамонта находится за пределами точки в 7,27 дюйма от поверхности. Температура за пределами этой точки намного ниже, и там находится почти половина объема мамонта.

Следует подчеркнуть, что приведенные выше расчеты основаны на расчёте, что только быстрое охлаждение способствует сохраненности растительных остатков. Однако, даже если бы было возможно идентифицировать эти растения без привязки к их растительным частям, тот факт, что мясо было вырезано из туш мамонтов в съедобном качестве, требует аналогичного снижения температуры до 40°F в течение десяти часов.

Выводы.

Ясно, что в случае Березовского мамонта некое сильнейшее климатическое потрясение является единственным объяснением сохранности его останков. Животное мирно паслось на летних лютиках в конце июля, и в течение получаса после того, как мамонт в последний раз откушал, температура упала ниже -150°F (-101°С). Вскоре после этого он был умерщвлен, — замерз насмерть, — в середине лета. Более того, он так и не оттаял полностью, пока в 1901 году не упал с берега реки. Таким образом, каковы бы не были потрясения климата, они навсегда изменили климатические условия тундры. Безусловно, перед нами явное свидетельство внезапного глубокого замораживания, о котором исследователи этого важнейшего вопроса заявляли в течение последних двух столетий.

THE CATASTROPHIC DEEP-FREEZE OF THE BERESOVKA MAMMOTH
Jody Dillow*
Received 5 October 1976